정수론 · 2025 KMO 2차
2025 KMO 2차 고등부 1번 (임시)
아래 조건을 충족하는 모든 양의 정수 을 찾고, 그 외의 값은 불가능함을 증명하세요.
서로 다른 네 양의 정수 를 선택할 수 있으며, 이들은 각각 의 약수이고 다음을 만족합니다.
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아래 조건을 충족하는 모든 양의 정수 을 찾고, 그 외의 값은 불가능함을 증명하세요.
서로 다른 네 양의 정수 를 선택할 수 있으며, 이들은 각각 의 약수이고 다음을 만족합니다.
양의 정수는 1 이상의 정수입니다. 은 를 만족하는 정수 가 존재한다는 뜻입니다.
는 두 개씩 모두 달라야 합니다. 양의 약수에는 과 자체도 포함됩니다.
제출에는 구한 의 전체 범위와 그 필요충분성을 정당화하는 논증을 함께 적으세요.
정수의 나눗셈과 약수·배수, 최대공약수와 최소공배수의 기본 성질, 유리수의 대소관계와 통상적인 대수 계산은 배경지식으로 사용할 수 있습니다.
약수를 크기순으로 놓거나 대칭성을 이용하는 것은 허용합니다. 계산의 자명한 정리와 부등식의 수치 확인은 생략할 수 있습니다.
반면, 답이 되는 경우의 구성과 나머지 경우가 불가능하다는 분류 논증은 이 문제의 핵심이므로 생략할 수 없습니다. 유한한 범위의 수치 실험만으로 모든 양의 정수에 대한 결론을 대신할 수 없습니다. 참고 해설과 다른 올바른 풀이도 인정합니다.